第一、二、三章课后习题解答参考#

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第一章#

1-2： $11100.101_2 \quad 100.101_2 \quad 10.1101_2 \quad 10.1_2$

1-3： (1) $(1110101)_2 = (117)_{10} = (165)_8 = (75)_{16}$ (2) $(0.110101)_2 = (0.828125)_{10} = (0.65)_8 = (0.\text{D}4)_{16}$ (3) $(10111.01)_2 = (23.25)_{10} = (27.2)_8 = (17.4)_{16}$

1-4： (1) $(29)_{10} = (11101)_2 = (35)_8 = (1\text{D})_{16}$ (2) $(0.207)_{10} = (0.00111)_2 = (0.16)_8 = (0.38)_{16}$ (3) $(33.333)_{10} = (100001.01011)_2 = (41.26)_8 = (21.58)_{16}$

1-7： $[N]_\text{原} = 1.1010$；$[N]_\text{反} = 1.0101$；$N = -0.1010_2$

1-10： (1) $(0110 \; 1000 \; 0011)_{8421\text{BCD}} = (683)_{10} = (1010101011)_2$ (2) $(0100 \; 0101.1001)_{8421\text{BCD}} = (45.9)_{10} = (101101.1110)_2$

1-11： (1) $(578)_{10} = (0101 \; 0111 \; 1000)_{8421\text{BCD}} = (1000 \; 1010 \; 1011)_{\text{余三码}} = (1001000010)_2 = (1101100011)_{\text{Gray}}$ (2) $(1100110)_2 = (102)_{10} = (0001 \; 0000 \; 0010)_{8421\text{BCD}} = (0100 \; 0011 \; 0101)_{\text{余三码}} = (1010101)_{\text{Gray}}$

1-12： $(27)_{10}$，$(0011 \; 1000)_{8421\text{BCD}}$，$(135.6)_8$，$(110111001)_2$，$(3\text{AF})_{16}$

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第二章#

2-1：略

2-2：略

2-3：略

2-4： (1) $\overline{F} = (\overline{A} + C)(B + \overline{C})$；$F' = (A + \overline{C})(\overline{B} + C)$ (2) $\overline{F} = (A + \overline{B})(\overline{B} + C)(\overline{A} + \overline{C}D)$；$F' = (\overline{A} + B)(B + \overline{C})(A + C\overline{D})$ (3) $\overline{F} = \overline{A} + B[\overline{(\overline{C} + D)}\,\overline{(E + \overline{F})} + \overline{G}]$；$F' = A + \overline{B}[(C + \overline{D})(\overline{E} + F) + G]$ (4) $\overline{F} = \overline{A}(B + \overline{C} + \overline{\overline{D} + \overline{E}})$；$F' = A \cdot \overline{ B \cdot \overline{C} \cdot \overline{\overline{D} \cdot \overline{E}} }$ (5) $\overline{F} = (\overline{A} + B)(B + \overline{AC})$；$F' = \overline{\overline{A}B} + B\overline{(\overline{A} + C)}$

2-5： (1) 正确； (2) 若 $A=0$ 时，逻辑关系不满足； (3) 若 $A=1$ 时，逻辑关系不满足； (4) 正确；

2-6： (1) $F = A + B$ (2) $F = 1$ (3) $F = A + \overline{B}\overline{D}$ (4) $F = A \cdot (C + D) \cdot E$ (5) $F = BC$

2-7： (1) $F(A,B,C) = \overline{A}\overline{B}\overline{C} + A\overline{B}\overline{C} + A\overline{B}C + AB\overline{C} + ABC = \sum m(0,4,5,6,7)$ $F(A,B,C) = (A + B + \overline{C})(A + \overline{B} + \overline{C})(A + \overline{B} + C) = \prod M(1,2,3)$ 卡诺图方法更简洁。 (2) $F(A,B,C,D) = \sum m(4,5,6,7,12,13,14,15)$ $F(A,B,C,D) = \prod M(0,1,2,3,8,9,10,11)$ (3) $F(A,B,C,D) = \sum m(0,1,2,3,4)$ $F(A,B,C,D) = \prod M(5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15)$

2-8： (1) $F(A,B,C) = \sum m(0,1,2,4)$ (2) $F(A,B,C) = \sum m(0,3,5,6)$ (3) $F(A,B,C) = \sum m(3,5,6,7)$

2-9：略

2-10： (1) $F(A,B,C) = \overline{A}\overline{C} + \overline{B}\overline{C} = \overline{(A + B)}\overline{C}$ (2) $F(A,B,C) = \overline{A}\overline{B} + AC + B\overline{C} = (A + \overline{B} + \overline{C})(\overline{A} + B + C)$ (3) $F(A,B,C,D) = B + D = B + D$

2-11：$F$ 与 $G$ 互补。

2-12： (1) $a=1$ 时； (2) $a=b=1$ 时；

2-13： (1) $F(A,B,C,D) = \overline{A} + BD$，$\sum d(1,3,4,5,6,8,10) = 0$； (2) $\begin{aligned} F_1(A,B,C,D) &= \overline{B}\overline{D} + A\overline{B}\overline{C}D + \overline{A}BCD + ABD \\ F_2(A,B,C,D) &= \overline{B}\overline{D} + \overline{A}\overline{C}D + \overline{A}BC \\ F_3(A,B,C,D) &= \overline{A}\overline{B}\overline{C}\overline{D} + \overline{A}BCD + \overline{A}BC \end{aligned}$ 多输出函数共有 7 个不同与项，其中包含逻辑变量总个数为 22 个。

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第三章#

3-1： (1) $\begin{aligned} F(A,B,C) &= \overline{A}\overline{C} + BC = \overline{ \overline{\overline{A}\overline{C}} \cdot \overline{BC} } \\ F(A,B,C) &= (\overline{A} + C)(B + \overline{C}) = \overline{ \overline{\overline{A} + C} + \overline{B + \overline{C}} } \end{aligned}$ (2) $\begin{aligned} F(A,B,C) &= \prod M(3,6) = \overline{B} + \overline{A}C + AC = \overline{ B \cdot \overline{\overline{A}C} \cdot \overline{AC} } \\ F(A,B,C) &= \prod M(3,6) = (A + \overline{B} + \overline{C})(\overline{A} + \overline{B} + C) = \overline{ \overline{A + \overline{B} + \overline{C}} + \overline{\overline{A} + \overline{B} + C} } \end{aligned}$ (3) $\begin{aligned} F(A,B,C,D) &= \overline{A}\overline{C} + B\overline{C} + \overline{A}B = \overline{ \overline{\overline{A}\overline{C}} \cdot \overline{B\overline{C}} \cdot \overline{\overline{A}B} } \\ F(A,B,C,D) &= \overline{ \overline{\overline{A} + B + \overline{C}} + \overline{A + B + C} } \end{aligned}$ (4) $\begin{aligned} F(A,B,C,D) &= \overline{ \overline{A}B + \overline{A}C + \overline{B}CD } = \overline{\overline{A}B} \\ F(A,B,C,D) &= \overline{ \overline{\overline{A} + B} } = \overline{ \overline{\overline{A} + B} + 0 } \end{aligned}$

3-2： (1) $F(A,B,C) = \overline{ \overline{\overline{A}\overline{B}} + \overline{\overline{A}\overline{C}} + \overline{\overline{B}\overline{C}} }$ (2) $F(A,B,C,D) = \overline{ \overline{A\overline{C}D} + \overline{\overline{A}\overline{B}C} + \overline{\overline{B}CD} + \overline{B\overline{C}D} }$

3-3：略

3-4： $F(A,B,C) = \overline{ [A + (B + \overline{C})(\overline{B} + C)] \cdot [\overline{A}C + (B + \overline{C})(\overline{B} + C)] } = \overline{A}\overline{B}C + A\overline{B}\overline{C} + ABC$ 该电路为模 3 余 1 电路。

3-5： (1) 两个一位二进制数的全减器，产生差 $F$ 与借位 $G$； (2) 两个一位二进制数的全加器，产生和 $F$ 与进位 $G$；

3-6： $F_1 = \overline{A}B$；$F_2 = AB$；$F_3 = A \oplus B$ 当 $A=B$ 时， $F_1, F_2, F_3$ 等效。

3-7： (1) $Y = X^2$；（$Y$ 也用二进制数表示） 因为一个两位二进制正整数的平方的二进制数最多有四位，故输入端用 $A, B$ 两个变量，输出端用 $Y_3, Y_2, Y_1, Y_0$ 四个变量。

• (1) 真值表：

$AB$	$Y_3$	$Y_2$	$Y_1$	$Y_0$
00	0	0	0	0
01	0	0	0	1
10	0	1	0	0
11	1	0	0	1

• (2) 真值表（对应 $Y = X^3$）：

$AB$	$Y_4$	$Y_3$	$Y_2$	$Y_1$	$Y_0$
00	0	0	0	0	0
01	0	0	0	0	1
10	0	1	0	0	0
11	1	1	0	1	1

$\therefore Y_3 = AB$, $Y_2 = A\overline{B}$, $Y_1 = 0$, $Y_0 = A\overline{B} + AB = B$。 逻辑电路为：

3-8： $Y = C_1\overline{X} + C_0X$ （提示：将 $X$ 看作输入量，列出真值表，画出卡诺图化简，画出逻辑电路图）

3-9： 设计一个一位十进制数（8421BCD 码）乘以 5 的组合逻辑电路，电路的输出为十进制数（8421BCD 码）。 解：因为一个一位十进制数（8421BCD 码）乘以 5 所得的十进制数（8421BCD 码）最多有八位，故输入端用 $A, B, C, D$ 四个变量，输出端用 $Y_7, Y_6, Y_5, Y_4, Y_3, Y_2, Y_1, Y_0$ 八个变量。

• 真值表：

$ABCD$	$Y_7$	$Y_6$	$Y_5$	$Y_4$	$Y_3$	$Y_2$	$Y_1$	$Y_0$
0000	0	0	0	0	0	0	0	0
0001	0	0	0	0	0	1	0	1
0010	0	0	0	1	0	0	0	0
0011	0	0	0	1	0	1	0	1
0100	0	0	1	0	0	0	0	0
0101	0	0	1	0	0	1	0	1
0110	0	0	1	1	0	0	0	0
0111	0	0	1	1	0	1	0	1
1000	0	1	0	0	0	0	0	0
1001	0	1	0	0	0	1	0	1
其他(无关项)	$\times$	$\times$	$\times$	$\times$	$\times$	$\times$	$\times$	$\times$

用卡诺图化简可得：

$$\begin{aligned} Y_7 &= 0, \quad Y_6 = A, \quad Y_5 = B, \quad Y_4 = C \\ Y_3 &= 0, \quad Y_2 = D, \quad Y_1 = 0, \quad Y_0 = D \end{aligned}$$

逻辑电路图如下：

在化简时由于利用了无关项，本逻辑电路不需要任何逻辑门。

3-10： (1) 根据给定的逻辑功能建立真值表：

输入 $y_1 y_0$	输入 $x_1 x_0$	输出 $z_1 z_2$
00	00	11
00	01	01
00	10	01
00	11	01
01	00	10
01	01	11
01	10	01
01	11	01
10	00	10
10	01	10
10	10	11
10	11	01
11	00	10
11	01	10
11	10	10
11	11	11

(2) 根据真值表，列出逻辑函数表达式，并化简为“与非”式：

$$\begin{aligned} Z_1 &= y_1y_0 + \overline{x_1}\overline{x_0} + y_1\overline{x_1} + \overline{y_1}y_0\overline{x_1}x_0 + y_1\overline{y_0}x_1\overline{x_0} \\ &= \overline{ \overline{y_1y_0} \cdot \overline{\overline{x_1}\overline{x_0}} \cdot \overline{y_1\overline{x_1}} \cdot \overline{\overline{y_1}y_0\overline{x_1}x_0} \cdot \overline{y_1\overline{y_0}x_1\overline{x_0}} } \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} Z_2 &= \overline{y_1}\overline{y_0} + x_1x_0 + \overline{y_1}x_1 + \overline{y_1}y_0\overline{x_1}x_0 + y_1\overline{y_0}x_1\overline{x_0} \\ &= \overline{ \overline{\overline{y_1}\overline{y_0}} \cdot \overline{x_1x_0} \cdot \overline{\overline{y_1}x_1} \cdot \overline{\overline{y_1}y_0\overline{x_1}x_0} \cdot \overline{y_1\overline{y_0}x_1\overline{x_0}} } \end{aligned}$$

(3) 根据逻辑函数表达式画出逻辑电路图。（略）

3-11： 设 4 位二进制码为 $ABCD$，检测函数为： $F = \sum m(0,3,5,6,9,10,12,15) = \overline{A \oplus B \oplus C \oplus D}$ 逻辑电路图略。

3-12： (1) $F_1 = AB + \overline{A}\overline{C}D + BC$ (2) $F_2 = \overline{A}\overline{C}D + AB\overline{C} + ACD + \overline{A}BC$ (3) $F_3 = (A + \overline{B})(\overline{A} + \overline{C})$

Karnaugh 图及包围圈如下：

解：

1. 对于 (1)，不存在冒险；
2. 对于 (2)，存在冒险，消除冒险的办法是添加一冗余项 $BD$： 即：$F_2 = \overline{A}\overline{C}D + AB\overline{C} + ACD + \overline{A}BC + BD$
3. 对于 (3)，也存在冒险，消除冒险的办法也是添加一冗余因子项 $(\overline{B} + \overline{C})$： 即：$F_3 = (A + \overline{B})(\overline{A} + \overline{C})(\overline{B} + \overline{C})$。

3-13： $F = \overline{ \overline{\overline{A}\overline{B}\overline{C} + \overline{A}BD + \overline{B}C\overline{D} + \overline{A}\overline{C}D + \overline{A}\overline{B}D} }$ 其中后面两项为增加的冗余项； 其“或非”形式为： $F = \overline{ \overline{A+B+C} + \overline{A+\overline{B}+\overline{D}} + \overline{B+\overline{C}+D} + \overline{A+C+\overline{D}} + \overline{A+B+\overline{D}} }$