算法设计与分析考前预测与核心简答#

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一、 核心简答与对比#

1. 贪心算法和动态规划的异同（比较）#

• 共同点：

  • 两者均要求问题具有最优子结构性质，即问题的最优解包含其子问题的最优解。
  • 两者均是通过将原问题分解为若干个子问题，先求解子问题，进而求出原问题的解。

• 多维度对比矩阵：

对比维度	贪心算法	动态规划
贪心选择性质	具有。每一步都做出当前看起来最好的选择（局部最优），并期望由此产生全局最优解。	不一定具有。当前的局部最优选择不一定会导致全局最优，必须从全局进行权衡。
子问题重叠	不一定具有。通常每次贪心选择后，仅面临一个非空的子问题。	必须具有。子问题空间要足够小，使得许多子问题在求解过程中被反复计算。
求解方向	自顶向下。通过一系列贪心选择逐步将问题简化。	自底向上（或带备忘录的自顶向下）。先求小子问题，再由子问题的解组合出大问题的解。
执行效率	通常较高。只需做出局部最优的一步选择，不涉及状态转移和回溯。	相对较低。需要计算并记录所有可能的状态和子问题。

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2. 剪枝函数的作用#

回溯法与分支限界法在搜索问题的解空间树时，为了避免无效搜索，会采用剪枝函数来裁剪不必要的子树，从而显著减少问题的运算量。剪枝函数主要分为以下两类：

• 约束函数 (Constraint Function)：
  • 作用：在左子树（通常是包含当前元素的分支）判断当前选择是否满足问题的显约束和隐约束。如果不满足，则剪去该子树。
  • 典型应用：N 皇后问题中判断当前皇后放置是否冲突。
• 限界函数 (Bound Function)：
  • 作用：在右子树（通常是不包含当前元素的分支）评估当前已选值加上剩余元素的最大可能增益（如价值），如果该最大可能增益小于或等于当前已找到的最优解的值，则剪去该子树（因为该分支绝不可能产生比当前解更优的解）。
  • 典型应用：0-1 背包问题中评估当前价值与剩余最大期望价值之和是否大于 bestp。

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3. 回溯法和分支限界法的异同#

• 相同点：

  • 均需要明确定义问题的解空间（通常组织为树或图）。
  • 均在解空间上搜索问题解。
  • 在搜索最优解之前，均需明确判定条件（如限界函数、约束条件）。
  • 搜索过程中均会通过剪枝函数删除（裁剪）不合法的分支，保留有希望产生最优解的节点。

• 不同点：

对比维度	回溯法	分支限界法
搜索目标	找出解空间中满足约束条件的所有解。	找出满足约束条件的一个解，或在满足约束条件的解中找到最优解。
搜索方式	深度优先搜索 (DFS)。以系统且跳跃的方式向深度方向推进。	广度优先 (BFS) 或 最小耗费/最大效益优先。以层序方式展开。
扩展方式	扩展结点一次只生成一个子结点，如果活结点不能再向深处扩展，则回溯。	扩展结点一次生成所有的孩子结点（分支），并将它们加入活结点表。
存储空间	较小。只需 $O(n)$ 级别的调用栈空间。	较大。需要维护一个活结点表（队列或堆），在节点树极其庞大时易造成内存溢出。

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二、 核心算法图解与分析#

1. 二分查找法的时间复杂度分析#

二分查找法通过将搜索区间不断减半来定位目标元素，在最坏情况下的比较次数可以通过如下步骤推导。

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2. 哈夫曼编码#

哈夫曼编码构建一棵满二叉树，其权值路径长度最小（WPL 最小）。下图展示了根据一组频率字符集构建哈夫曼树的合并过程。

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3. （0-1）背包问题#

给出一个具体的背包问题，可以通过动态规划填表法计算出最大价值。下图为某具体 0-1 背包问题的价值决策矩阵（填表示意图）。

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4. 最小生成树#

最小生成树包含图的所有顶点，且总边权最小。常用的求解算法包括 Prim 算法（加点法，适合稠密图）和 Kruskal 算法（加边法，适合稀疏图）。

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5. 单源最短路径#

Dijkstra 算法利用贪心思想，通过逐步松弛边来寻找从起点到所有其他顶点的最短距离。

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6. 活动安排问题#

活动安排问题利用贪心算法，每次选择具有最早结束时间且与已选择活动兼容的活动，从而安排尽可能多的活动。

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7. 图的 m 着色问题#

图的着色问题求解在给定的 $m$ 种颜色下，使得相邻顶点颜色不同的可行方案。求解过程通常采用回溯法在排列/子集树（解空间树）上进行搜索。

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8. 设计动态规划算法的主要步骤#

1. 寻找最优解的性质：刻画最优解的结构特征。
2. 递归地定义最优值：建立状态转移方程（核心）。
3. 计算最优值：通常以自底向上的方式计算（填表），并记录中间决策信息。
4. 构造最优解：根据计算最优值时得到的信息，从终状态逆向回溯构造出完整的解（该步骤可根据题目要求选择性执行）。

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三、 上机经典题目实现#

1. 虚拟加油问题（最少加油次数）#

问题描述#

一辆汽车加满油后可行驶 $d$ 公里，旅途中有若干个加油站，设计算法求出使汽车到达终点的最少加油次数。

贪心策略#

汽车能够到达下一个加油站就不加油，只有在当前的油量不足以支撑行驶到下一个加油站时，才在前一个加油站将油加满。

C++ 代码实现#

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

// length: 加满油后最远能行驶的距离
// number: 加油站个数
// group: 相邻加油站之间的距离数组，group[0]为起点到第一个加油站的距离，
//        group[i]为加油站i到i+1的距离，group[number]为最后一个加油站到终点的距离
int MinRefuelTimes(int length, int number, const vector<int>& group) {
    int count = 0;
    int sum = 0;
    
    for (int j = 0; j <= number; j++) {
        // 如果两个站之间的距离大于油箱容量，汽车不可能到达终点
        if (group[j] > length) {
            return -1;
        }
        
        sum += group[j];
        if (sum > length) {
            // 当前累计距离超出了一箱油的最大行程，必须在前一个站加油
            count++;
            sum = group[j]; // 在加油站加油后，重新开始累计距离
        }
    }
    
    return count;
}

int main() {
    int length = 7;
    int number = 7;
    // 起点与加油站、加油站与终点间距离
    vector<int> group = {1, 2, 3, 4, 5, 1, 6, 2};
    
    int ans = MinRefuelTimes(length, number, group);
    if (ans == -1) {
        cout << "无法到达终点！" << endl;
    } else {
        cout << "最少加油次数: " << ans << " 次" << endl;
    }
    return 0;
}

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2. 半数集问题#

问题描述#

给定一个自然数 $n$，定义半数集 $set(n)$ 如下：

1. $n \in set(n)$；
2. 在 $n$ 的左边加上一个自然数 $d$，但 $d \le n / 2$；
3. 按照此规则递归添加，直到不能添加为止。 求半数集 $set(n)$ 的元素个数。

C++ 递归与记忆化搜索实现#

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

// 1. 纯递归实现（存在大量重复子问题计算，时间复杂度呈指数增长）
int SetNum(int n) {
    int num = 1; // 包含 n 本身
    if (n == 1) return 1;
    for (int i = 1; i <= n / 2; i++) {
        num += SetNum(i);
    }
    return num;
}

// 2. 记忆化搜索（动态规划思想，时间复杂度降为多项式级别 O(n^2)）
int SetNumMemo(int n, vector<int>& memo) {
    if (memo[n] > 0) return memo[n]; // 已计算过直接返回
    
    int num = 1;
    for (int i = 1; i <= n / 2; i++) {
        num += SetNumMemo(i, memo);
    }
    
    memo[n] = num; // 记录计算结果
    return num;
}

int main() {
    int n = 6;
    
    // 纯递归计算
    cout << "递归求解 set(" << n << ") 大小: " << SetNum(n) << endl; // 对应集合 {6, 16, 26, 126, 36, 136}
    
    // 记忆化搜索求解
    vector<int> memo(n + 1, 0);
    cout << "记忆化求解 set(" << n << ") 大小: " << SetNumMemo(n, memo) << endl;
    
    return 0;
}