算法设计与分析重点总结#

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考试题型分布#

题型	分值	总分
选择题	$2\text{ 分} \times 10$	$20\text{ 分}$
填空题	$2\text{ 分} \times 10$	$20\text{ 分}$
简答题	$3\text{ 分} \times 4$	$12\text{ 分}$
程序分析填空题	$4\text{ 分} \times 4$	$16\text{ 分}$
综合题（代码）	$8\text{ 分} \times 4$	$32\text{ 分}$

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一、 基础知识#

• 算法的定义：指解决问题的一种方法或一个过程。
• 算法的特征：
  • 输入：有零个或多个外部输入。
  • 输出：至少产生一个输出。
  • 确定性：算法的每一步指令都必须是清晰、无歧义的。
  • 有限性：算法必须在有穷步内结束，不能陷入无限循环。
• 算法复杂度分析：
  • 时间复杂度：评估算法执行时间随问题规模增长的趋势。
  • 空间复杂度：评估算法执行过程中所消耗的额外存储空间。
  • 循环次数：重点掌握 归并排序、快速排序 和 贪心算法 的复杂度及循环次数。

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二、 递归与分治策略#

• 递归算法：
  • 重点掌握递归的思想，能够根据算法写出对应的递归表达式（递推方程）。
  • 熟练掌握简单的递归算法实现，吃透 PPT 中的典型例子。
• 合并排序 (Merge Sort)：
  • 掌握合并（归并）排序的执行过程。
  • 时间复杂度为 $O(n \log n)$，空间复杂度为 $O(n)$。
• 快速排序 (Quick Sort)：
  • 掌握划分与递归排序的过程。
  • 最坏时间复杂度为 $O(n^2)$，平均时间复杂度为 $O(n \log n)$，空间复杂度为 $O(\log n)$（递归调用栈空间）。

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三、 贪心策略#

• 贪心算法的两个基本要素：
  • 贪心选择性质：所求问题的整体最优解可以通过一系列局部最优的选择（贪心选择）来达到。
  • 最优子结构性质：一个问题的最优解包含其子问题的最优解。
• 背包问题 (Fractional Knapsack)：
  • 区别于 0-1 背包问题，物品可以部分装入。
  • 程序代码：必须能熟练手写背包问题的贪心算法程序。
• 最优装载问题：
  • 理解采用什么算法解决（利用贪心算法，按重量从小到大装载）。
• 典型贪心问题（重点掌握算法思想，代码了解即可）：
  • 哈夫曼编码 (Huffman Coding)
  • 最小生成树 (Minimum Spanning Tree) —— Prim 算法与 Kruskal 算法。
  • 单源最短路径 (Single Source Shortest Path) —— Dijkstra 算法。
  • 旅行商问题 (TSP) —— 重点掌握填表分析过程。
  • 活动安排问题 (Activity Selection) —— 重点掌握填表分析过程。

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四、 动态规划#

• 动态规划的基本要素：
  • 最优子结构性质：一个问题的最优解包含其子问题的最优解。
  • 子问题重叠性质：在用递归算法自顶向下求解问题时，每次产生的子问题并不总是新问题，有些子问题被反复计算多次。
• 0-1 背包问题：
  • 可以使用多种算法求解，需理清各算法的区别：
    • 动态规划：无需排序，以自底向上的方式填表求解。
    • 回溯法 与 分支限界法：需要对物品按单位重量价值进行降序排序。
  • 重点掌握动态规划求解 0-1 背包问题的填表法（PPT 第 59 页的表格必须会填）。
• 最长公共子序列 (LCS)：

  • 递推公式（PPT 第 30 页）：

    $$c[i][j] = \begin{cases} 0 & i = 0 \text{ 或 } j = 0 \\ c[i-1][j-1] + 1 & i, j > 0; x_i = y_j \\ \max(c[i][j-1], c[i-1][j]) & i, j > 0; x_i \neq y_j \end{cases}$$

  • 程序代码：必须掌握其动态规划实现代码。

• 流水作业调度：
  • 了解 Johnson 算法的基本思想与调度原则。

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五、 回溯法#

• 回溯法与分支限界法对比：
  • 回溯法是一种带有系统性与跳跃性的深度优先搜索（DFS）算法。
• 剪枝函数 (Pruning Functions)：
  • 约束函数 (Constraint Function)：在左子树剪去不满足约束条件的子树（如 N 皇后中判断放置位置是否冲突）。
  • 限界函数 (Bound Function)：在右子树剪去不可能产生比当前最优解更好的解的子树（如 0-1 背包中判断当前价值 + 剩余物品的最大价值估算是否小于当前已找到的最优价值 bestp）。
• 装载问题：
  • 熟练掌握装载问题的回溯法代码。
• 图的 m着色问题：
  • 掌握如何画出解空间树，并进行约束剪枝。
• n 后问题 (N-Queens)：
  • 掌握回溯法放置皇后的过程与冲突判定。
• 0-1 背包问题：
  • 能够手绘回溯法求解 0-1 背包问题的解空间树（子集树）。

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六、 分支限界法#

• 回溯法与分支限界法多维度对比 (PPT 25-26 页)：

对比维度	回溯法	分支限界法
求解目标	找出解空间中满足约束条件的所有解	找出满足约束条件的一个解，或在满足约束条件的解中找出最优解
搜索方式	深度优先搜索 (DFS)	广度优先 (BFS) 或 最小耗费/最大效益优先
扩展方式	扩展结点一次只生成一个子结点，向深度方向推进	扩展结点一次生成所有的孩子结点（分支）
存储空间	较小，为 $O(n)$ 级别的递归调用栈空间	较大，需要维护一个存放所有活结点的表（队列或堆）

• 队列式 (FIFO) 分支限界法：
  • 按照队列先进先出原则选取下一个结点作为当前扩展结点。
• 优先队列式分支限界法：
  • 按照优先队列中规定的优先级（如最大效益、最小费用）选取优先级最高的结点作为当前扩展结点。
• 典型问题（重点掌握思想与分支限界搜索过程）：
  • 单源最短路径问题
  • 装载问题
  • 0-1 背包问题